Олімпіада УЗФТШ – 2010.

Задачі з математики.

Задача М1.

Зі смужок розміром 1×7 склали квадрат. Показати, що якщо це не квадрат 7×7, то всередині нього знайдуться 7 смужок, котрі, примикаючи одна до іншої, утворюють квадрат 7×7.

Задача М2.

Знайти всі пари натуральних чисел m и n , менших за 2010, таких, що  – ціле і приймає найбільше значення.

Задача М3.

Дана система типу підшипника, котра складається з 12 кіл. Одинадцять з них мають радіус r = 1 і торкаються більшого кола з радіусом R = 3. Менші кола не перетинаються, але можуть торкатися одне іншого. Показати, що площа випуклої оболонки такої системи менша, ніж .

(Множина називається випуклою, якщо разом із будь-якими двома своїми точками вона містить і весь відрізок, що з’єднує ці точки. Випуклою оболонкою множини А називається найменша випукла множина В, що охоплює множину А. Наприклад, випуклою оболонкою множини, що складається з двох точок, є відрізок з кінцями в цих точках; випукла оболонка кола є круг; випукла оболонка системи з двох паралельних відрізків – трапеція, основами котрої є дані відрізки.)

Задача М4.

Функція така, що . Відомо, що .

Знайти .

Задача М5.

В рівносторонньому трикутнику АВС на вписаному колі знайшлась така точка Р, що , при цьому . Зайдіть кут .

Задача М6.

Всередині відрізка довжиною 2009 відмітили 48 точок , котрі розбивають його на 49 рівних частин. Потім, всередині того ж відрізка відмітили 40 точок , котрі розбивають його на 41 рівну частину. Таким чином, отримали розбиття даного відрізка 88 точками. Всі отримані ланки розфарбували послідовно червоним і синім кольором. Чому дорівнює різниця сумарної довжини червоних і синіх відрізків?

Задача М7.

З послідовних 50 натуральних чисел вибрали довільно 22 елемента. Показати, що серед них знайдеться пара чисел, сума квадратів котрих ділиться на 5.

Задача М8.

Відомо, що найменше з трьох натуральних чисел  – парне. Знайти всі такі трійки, щоб число  було цілим.

Задачі з фізики.

Задача Ф1. Через блок, що знаходиться високо вгорі, перекинуто і зафіксовано легкий нерозтяжний гнучкий шнур, на кінцях якого на висоті H над землею підвішені гирьки масами M та m. В початковий момент часу шнур відпускають і гирьки починають рухатись під дією сили тяжіння. Через який час система прийде в стан спокою, якщо удар гирьки об землю є абсолютно непружним?

Задача Ф2.

Настінний годинник з маятником підвісили на двох довгих паралельних шнурах, прикріплених до стелі. Яка помилка в показаннях годинника накопиться за добу, якщо, будучи закріпленим на стіні, годинник йшов точно. Маса гирьки на кінці легкого маятника 150 г, а повна маса годинника 5 кг.

Задача Ф3.

Під час руху трамвая по горизонтальній ділянці шляху з деякою швидкістю двигун трамвая споживає струм I₀=100A, при цьому КПД двигуна дорівнює η=0,9. Під час руху трамвая похилою ділянкою шляху вниз з тією ж швидкістю струм в його двигуні дорівнює нулю (двигун вимкнено). Який струм буде споживати двигун трамвая під час підйому трамвая тією ж похилою ділянкою шляху з тією ж швидкістю?

Задача Ф4.

В розміщеному горизонтально закритому з обох боків теплоізольованому циліндрі з одного боку від закріпленого поршня знаходиться моль ідеального газу, а з іншого у вакуумі розміщена між поршнем і стінкою недеформована пружина. Поршень вивільняють і після встановлення рівноваги об’єм газу виявляється вдвічі більшим за початковий. Як змінилися температура і тиск газу? Теплоємностями циліндра, поршня і пружини можна знехтувати.

Задача Ф5.

Осі якорів двох однакових електродвигунів постійного струму жорстко з’єднані одна з іншою. Якщо до обмоток якорів підключені одинакові джерела з е.р.с. Е, то кутова швидкість обертання якорів без навантаження буде рівною ω₀. Якщо двигуни загальмувати так, щоб вони не обертались, то через обмотки якорів потече струм I₀.

Одне з джерел струму переключили так, щоб обертальні моменти якорів були протилежними. Який зовнішній момент слід прикласти до осі якорів для того, щоб вони обертались із заданою кутовою швидкістю ω? Тертям в двигунах можна знехтувати, магнітне поле статора створюється постійним магнітом.

Задача Ф6.

Як із чотирьох нагрівальних спіралей, опір яких складає 10 Ом, 20 Ом, 30 Ом і 40 Ом, розрахованих на виділення потужності, не більшої від 2 Вт на кожній, скласти нагрівач найбільшої можливої потужності, якщо джерело струму має е.р.с. 20 В і внутрішній опір 20 Ом? Якою буде потужність такого нагрівача?

Задача Ф7.

На головній оптичній осі збірної лінзи з фокусною відстанню F знаходиться точкове джерело світла на відстані 3F від лінзи. Джерело світла змістили вздовж головної оптичної осі на відстань F/2, віддаливши від лінзи. Як треба змінити положення лінзи, щоб зображення джерела світла повернулось в своє попереднє положення при умові, що центр лінзи зміститься: (а) на максимальну, (б) на мінімальну з можливих за даної умови відстаней.

Задача Ф8.

Чому вважається, що допомагаючи ліпше бачити людям з вадами зору, лінзові окуляри не сприяють покращенню зору, тоді як чорні «дірчаті» окуляри і допомагають ліпше бачити і стимулюють зір до покращення? Якими повинні бути розміри дірок і відстань між ними і чому вони не залежать від степені ослабленості зору?

Задачі підібрані та складені канд.фіз.-мат. наук Шлапаком Ю.В. і студентом 5-го курсу Київського відділення МФТІ  Голентусом  І.Є.