Главная Новости Архив Новостей
Вступительное задание по математике 2010-2011 PDF Печать E-mail

1. Лодка спускается по течению реки на 30 км, а затем, не теряя времени, разворачивается и поднимается вверх против течения на 26 км. Скорость течения реки равна 1 км/ч, а собственная скорость лодки может меняться в пределах от 5 км/ч до 9 км/ч. Какое наименьшее и наибольшее время может занять такая поездка?

 

2. Три брата собирали в своём саду урожай слив. Первый брат собрал  всех слив и ещё 2 кг, второй брат собрал  всех слив и ещё 1 кг, а третий брат собрал половину тех слив, которые не собрали первые два брата. После этого осталась несобранной  часть первоначального количества слив. Сколько слив (в килограммах) было в саду до начала сбора урожая?

 

3. Задумали некоторое двузначное число. Если в нём поменять местами первую и вторую цифры, а затем из результата вычесть 27, то получится задуманное число. Если же первую цифру задуманного числа умножить на  и вычесть из этого вторую цифру числа, умноженную на  , то получится 1,7. Какое число было задумано?

 

4. Введите на клетчатой бумаге систему координат. Отметьте точки A(-2;7), B(1;-2), C(-4;-7), D(2;-5), E(3;-8), F(5;-4), G(14;-1), H(8;2), K(11;8), L(6;3) и соедините их последовательно отрезками AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HK, KL, LA. Найдите площадь полученной фигуры (площадь одной клетки считать равной 1 м2).

 

5. Свежие подосиновики содержат 93% воды (по массе), а в сушёных подосиновиках массовая доля воды составляет  . Какая масса сушёных подосиновиков получится из 20 кг свежих?

 

6. При каких значениях параметров a и b система уравнений
а) не имеет решений;
б) имеет бесконечно много решений;
в) имеет ровно одно решение?
Найдите эти решения (для пунктов б) и в)).

 

7. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает продолжение стороны CD за точку C в точке F, а биссектриса угла B пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке E. Известно, что УголAFE = 30°, BC = 7, EF = 12. Найдите длину отрезка BH, где H - это точка пересечения двух данных биссектрис.

 

8. Бригада лесорубов должна была по плану заготовить 286 м3 древесины. Первые шесть дней бригада выполняла установленную планом ежедневную норму, а затем каждый день заготавливала на 9 м3 больше плановой нормы. Поэтому за день до срока было заготовлено 296 м3 древесины. Сколько кубических метров древесины в день бригада должна была заготавливать по плану?

 

9. В прямоугольный треугольник с периметром 36 вписана окружность. Гипотенуза точкой касания делится в отношении 2:3. Найдите длины сторон треугольника.

 

10. Требуется соорудить железнодорожную насыпь, имеющую 170 метров в длину, а в поперечном сечении – равнобокую трапецию с нижним основанием, равным 6 м, и углом откоса, равным 45°. Какую высоту h может иметь эта насыпь, чтобы объём земляных работ составил не менее 850 м3, но не более 1190 м3. (Объём насыпи равен произведению её длины на площадь её поперечного сечения).

 

11. а) Изобразите на координатной плоскости фигуру M, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

б) Найдите площадь фигуры M.

 

12. Решите уравнение:

 

13. Дана окружность с центром в точке O радиуса 2. Из конца отрезка OP, пересекающегося с окружностью в точке K, проведена касательная PE к окружности (E - точка касания), причём УголEPO = 60°. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков PE, PK и дуги KE.

 

14. Известно, что  Найдите значение выражения

 
 

Голосование

Вам больше всего нравится ...